A Complete Unknown speelt zich af in de invloedrijke muziekscene van New York in de vroege jaren '60 en volgt de opkomst van de negentienjarige muzikant Bob Dylan uit Minnesota als folk-zanger naar de top van de hitlijsten.
De welgestelde Alma, alleenwonend in haar grote woning en Mina, moeder van twee kinderen in een kleine huurflat, hebben hun levens georganiseerd rondom de gevangenisbezoeken aan hun echtgenoten.